Gauß Funktionen

...gehören zu den bekanntesten geschlossen lösbaren uneigentlichen Integralen. Die Funktion selbst hat (für a=1) die Form

Das Integral der Grundform

kann man für positiv reelle a lösen, indem man das Quadrat dieses Integrals anschreibt und von kartesischen in Polarkoordinaten transformiert,

und aus dem Ergebnis die Quadratwurzel zieht.

Die Form

integriert man durch quadratische Ergänzung des Exponenten:

Dann transformiert man die Integrationsvariable

und kann das Integral so auf ein Gaußsches Integral zurückführen.

Integrale, bei denen noch zusätzliche Faktoren vorkommen, können durch partielle Ableitung der Integrationsformen nach a oder b berechnet werden. Man erhält die Ergebnisse

Hier die wichtigsten Formeln:

Gaußsche Wellenfunktion

Wellenfunktion im Ortsraum

Im "Ortsraum" hat das normierte Wellenpaket die Form

Dabei ist, wie wir unten noch sehen werden, ein Maß für die Breite der Wellenfunktion und k proportional zum Impuls in x-Richtung.

Das Normquadrat ist

und die Integration zeigt

(wenn man die übersensible Mathematica-Darstellung genauer betrachtet), dass die Wellenfunktion auf den Wert 1 normiert ist.

Wir wollen den Betrag und Real- und Imaginärteil der Ortsraum-Wellenfunktion zeichnen. Wir wählen zuerst

Mit einem kleineren Wert von wird die Wellenfunktion lokalisierter:

Wie groß sind die Erwartungswerte von Ort- und Impuls-Operatoren? Dazu kann man die weiter oben angegeben Integrationsformeln (a=1/) verwenden:

Wellenfunktion im Impulsraum

Diese erhält man durch Fouriertransformation (also die unitäre Transformation für den Basiswechsel):

Mit

kann man wieder die Integralformel verwenden und erhält

Diese Form ist ebenfalls (automatisch) auf 1 normiert. Wir erkennen, dass die Wellenfunktion im Impulsraum rein reell ist und um den Wert

zentriert ist. Die Breite der Funktion ist umgekehrt proportional zur Breite im Ortsraum, also je lokalisierter das Paket im Ortsraum ist, desto ausgedehnet ist es im Impulsraum. Je schärfer der Impuls ist, desto ausgedehnet idt die Ortsraumverteilung.

Wir wollen dies in der graphischen Darstellung überprüfen (dazu setzten wir ℏ=1). Da die Funktion reell ist, brauchen wir nicht zwischen Realteil und Absolutbetrag zu unterscheiden.

Der kleinere Wert von ergibt

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